Geometría de la naturaleza

Geometría de la naturaleza

Rectas, curvas, ángulos, cubos, esferas y demás figuras geométricas forman parte del paisaje urbano y natural. Aunque las matemáticas y sus leyes universales están en la naturaleza, en las calles, en el parque, en las sombras, en el fondo del mar y allá donde se fija la mirada, sin embargo, existen muchos seres humanos encasillados en la vida urbana que no logran percibirla. La mayor parte de las veces, solamente la fotografía es capaz de captar y comunicar eficazmente la belleza geométrica de la naturaleza. En la naturaleza existen abundantes ejemplos de formas pertenecientes a la geometría euclidiana clásica, tales como hexágonos, cubos, tetraedros, cuadrados, triángulos, etc.; pero su vasta diversidad también produce objetos que eluden la descripción euclidiana. En esos casos los fractales proporcionan un mejor medio de explicación. La geometría euclidiana es muy útil para la descripción de objetos tales como cristales o colmenas, pero no se encuentra en ella elementos que sean capaces de describir las palomitas de maíz, la corteza de un árbol, las nubes, ciertas raíces o las líneas costeras. Los fractales permiten modelar, por ejemplo, objetos tales como una hoja de helecho o un copo de nieve. Con la incorporación del azar en la programación es posible, por medio de la computadora, obtener fractales que describen los flujos de lava y también terrenos montañosos.

Los fractales deben su origen al francés Henri Poincaré. Sus ideas fueron tomadas, más tarde por dos matemáticos, también franceses: Gastón Julia y Pierre Fatou, hacia el año 1918. Hubo un paréntesis en el estudio de los fractales, que fue renovado a partir del año 1974 y fue fuertemente impulsado por el desarrollo de la computadora digital. En realidad, el término fractal fue acuñado el año 1975 por el Dr. Benoit Mandelbrot, de la Universidad de Yale, a quien se considera el padre de la geometría fractal. Su trabajo, que mostraba diversas variantes del conjunto que hoy lleva su nombre, fue publicado el 26 de diciembre de 1980. La aparición de los fractales originó una geometría que puede describir el universo en perpetuo cambio. John H. Hubbard, de la Universidad de Cornell, y Adrien Douady, de la Universidad de Paris, en honor a su descubridor, pusieron al conjunto el nombre de Mandelbrot en la década de 1980, mientras trabajaban en las pruebas de diversos aspectos del mismo. Hubbard dice haberse reunido con Mandelbrot en 1979, y haberle mostrado cómo programar una computadora para lograr funciones iterativas. Hubbard admite que Mandelbrot más tarde desarrolló un método superior para generar las imágenes del conjunto. Estas curvas eran llamadas monstruos. Los matemáticos conservadores del siglo diecinueve consideraban patológicas a estas curvas monstruo. No las aceptaban ni las creían dignas de exploración porque contradecían las ideas matemáticas aceptadas.

Resulta demasiado complicado proporcionar una definición general de la base de la geometría de la naturaleza, el fractal, muchas de estas definiciones no se pueden aplicar a todas las familias de fractales existentes. Sin embargo, todos los fractales tienen algo en común, ya que todos ellos son el producto de la iteración, repetición, de un proceso geométrico elemental que da lugar a una estructura final de una complicación aparente extraordinaria. Con esta teoría se han desarrollado ideas tales como las de dimensiones fraccionarias, teorías de la iteración y de la auto-similitud y aplicaciones a la turbulencia. Es posible pensar en los fractales como una curva en perpetuo crecimiento. Para analizar un fractal, hay que observarlo en movimiento, puesto que se desarrolla constantemente. Actualmente se dispone de computadoras capaces de generar fractales. Cuando se observa una ilustración o una fotografía de un fractal, se lo está viendo en un momento de tiempo, está congelado en una etapa determinada de su crecimiento. En esencia, es esta idea de crecimiento o de cambio la que vincula a los fractales con la naturaleza.

Es necesario observar que, si se pretende describir fenómenos naturales no es posible contentarse con su contemplación como simples imágenes, estructuras estáticas. En efecto, cualquier modelo geométrico de un objeto de la naturaleza, como una planta, que no lleve incorporado de alguna forma su crecimiento dinámico, no será para el científico totalmente satisfactorio. Lo mismo puede aplicase al depósito de zinc en un proceso electrolítico, la formación de cordilleras, la descripción de un proceso tumoral, y otras observaciones. En otras palabras, tratar de comprender el concepto de fractal ignorando el proceso dinámico que lo crea no es adecuado. Además, sorprendentemente, y al contrario de lo que a menudo la experiencia hace inferir, en la geometría fractal, el proceso responsable de un intrincado y complejo fenómeno puede ser sorprendentemente simple. También en este caso, el recíproco es cierto: La simplicidad de un proceso no debe llevar, a las personas, a desdeñar sus posibles consecuencias, que a menudo pueden ser altamente complejas.

La geometría fractal tiene su origen en el concepto de proceso iterativo introducido hace ya más de trescientos años por Isaac Newton y Gottfried Leibniz. De forma esquemática, un proceso iterativo consta de: una unidad de entrada compuesta por un dato inicial. Esta unidad de entrada alimenta la unidad de proceso, cerebro pensante del proceso iterativo, que manipula la información recibida y produce un nuevo dato que constituye la unidad de salida. Este nuevo dato será posteriormente utilizado por la unidad de entrada para volver a alimentar la unidad de proceso, y así sucesivamente. Aunque seguramente, en esta era de la informática, la mayor parte de las personas se encuentran acostumbradas a este tipo de procesos cuyo ejemplo típico es el primitivo concepto algorítmico de lazo o bucle, existen otros procesos iterativos, más “artesanales” o “creativos”.

En la segunda mitad del siglo veinte la geometría fractal se convirtió en una nueva rama de las matemáticas, pues comenzó a considerar la simetría de los fenómenos desde una nueva perspectiva, es decir, la simetría de invarianza de escala. Esta explica la razón de que algunos objetos se parezcan a sí mismos independientemente de la variación de la escala de observación. Por ejemplo, una ramita pequeña arrancada de un brócoli, seguirá siendo como un pequeño brócoli; una rama de pino de navidad, se verá como si fuera un pequeño pino recién crecido; la imagen de un arroyuelo y sus bifurcaciones, será una copia fiel de una foto de un río caudaloso con sus afluentes, etc. Esta nueva geometría tiene como emblema el famoso “conjunto de Mandelbrot”: extraordinaria estructura generada a partir de una iteración simple de números complejos que impactó y maravilló al mundo de las artes plásticas. Fue precisamente en la plástica donde mayor aceptación tuvo la geometría fractal en sus inicios, debido a la belleza de las creaciones que salían de la naciente tecnología de las computadoras personales en la década de los años ochenta del siglo pasado. En Estados Unidos y Europa se llegaron a exponer en galerías de arte, obras obtenidas por computadoras, salidas de simples algoritmos de iteración.

La geometría fractal contiene a la de Euclides como caso particular. Las líneas rectas, lo regular, las figuras geométricas, no son más que modelos de una realidad mucho más rica y diversa: la realidad de las formas irregulares, de los objetos naturales, de las estructuras vivientes en general. La nueva geometría permitió revelar las propiedades más íntimas de la naturaleza, subrayando la necesidad de representar a los fenómenos tales como ellos son, en toda su riqueza como elementos multiformes, fraccionados y difusos. Por estas razones es que se dice que la geometría fractal es la “geometría de la naturaleza.” Bajo el imperio de las costumbres y las tradiciones, especialmente las científicas, casi siempre las personas se han limitado mentalmente a considerar situaciones que son realmente ideales, como las figuras geométricas. En la naturaleza estas figuras son la excepción, mientras que la mayoría de las figuras que hay alrededor son fractales. Aunque parezca increíble, este hecho tan contundente no había sido considerado en serio durante muchos siglos por la humanidad.

A la geometría fractal se le reconoce, según se dijo, como la geometría de la naturaleza y, en especial, tiene un papel fundamental para la comprensión geométrica del caos determinista, algo que le ha dado el crédito de ser la primera disciplina de las matemáticas que posee una definición de dimensión con significado físico. Anteriormente las definiciones matemáticas de dimensión eran funcionales solo para sí, sin embargo, la dimensión fractal es un número, por lo general fraccionario, que ayuda a la cuantificación espacial, la cual expresa cuánto se llena el espacio que se ocupa. La intuición gráfica de la mente del matemático francés Benoit Mandelbrot, le ha permitido proporcionar un lenguaje para describir fenómenos muy variados de gran interés científico y práctico, dejando algunas veces en segundo plano la fundamentación teórica y los aspectos excesivamente formales de esta nueva geometría, cuya aplicación ha enriquecido las herramientas para solucionar problemas en las ciencias naturales y física, geología, astronomía, estadística, economía y ciencias de la computación, entre otras.

Los fractales abarcan no solo los campos del caos, sino una amplia variedad de formas naturales, que resultaban imposibles de describir mediante la geometría diferencial hasta ahora desarrollada. Dichas formas son, entre otras, las líneas costeras, los árboles y plantas, las montañas, las galaxias, las nubes y los patrones meteorológicos. Así mismo en anatomía humana, el cerebro, los pulmones, el sistema nervioso, la estructura celular. Otros fenómenos impredecibles, como la turbulencia de los vientos y las aguas, el crecimiento de la población de una especie bajo cierto ambiente, las oscilaciones bursátiles en la bolsa de valores, etc., escapan al alcance del mundo del orden.

 

Guillermo Choque Aspiazu
http://www.eldiario.net/
Enero 24 de 2011

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *

Translate »